Nach seiner Ausbildung an der Ballettschule der Oper Rom und einem Studium an der Royal Ballet School in London trat Claudio Cocino 2007 dem Ballett der Oper Rom unter der Leitung von Carla Fracci bei. 2010 wurde er Solist beim Tulsa Ballet, wo er ein vielseitiges Repertoire von u. a. John Cranko, William Forsythe, Kenneth MacMillan, Jiří Kylián, und George Balanchine interpretierte. Nach seiner Rückkehr nach Rom ernannte ihn Eleonora Abbagnato 2017 zum Solotänzer. Seitdem tanzte er Haupt- und Solorollen in bedeutenden Produktionen wie Dornröschen, Schwanensee, Don Quixote, Giselle, Romeo und Julia, La Bayadère, Onegin und Cinderella. Sein Repertoire verbindet das klassische Ballett mit zeitgenössischen Werken und machte ihn zu einem vielseitigen Solisten auf internationalen Bühnen.
